Найти экстремум функции

Калькулятор для нахождения экстремума функции.

Замечание. Данный калькулятор находит производную функции, решает уравнение f ' (x)=0, и выдает точки подозрительные на экстремум (необходимое условие экстремума).

Данные точки будут экстремумами, если также будет выполнятся достаточное условие экстремума:

Если f ^'(x) при переходе через точку x_о меняет знак плюс на минус, то в точке x_о функция имеет максимум, в противном случае - минимум.

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке x_о экстремума нет.

Пример. Найти экстремумы функции

$$y=\frac{x^3}{4\left ( 2-x \right )^2}$$

Решение. Вставляем в калькулятор функцию в виде x^3/(4(2-x)^2), нажимаем "Ok", получаем точки подозрительные на экстремум: x=0, x=6

Проверим достаточное условие экстремумов:

Из рисунка видно, что  экстремум функции находится в точке x=6, и называется локальным минимумом, а также получаем интервалы монотонности функции:
(-_∞ ;2) и (6;+∞) - функция возрастает,
(-2;6) - функция убывает


Выполнение достаточного условия можно было проверить и по другому:

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную
f ^' (x) в окрестности точки x_о и вторую производную  в самой точке x_о.

Если f ^' (x_о) = 0, f "(x₀)>0 (f "(x₀)<0), то точка x_о является точкой локального минимума (максимума) функции f(x).

Если же f "(x₀)=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные, см. калькулятор высших производных.

Решенные примеры: Полное исследование функции