Условие и материал
Сочетаниями из n элементов по k называется любое подмножество из k элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов.
Отметим, что в отличие от размещений, в сочетаниях порядок выбора элементов уже не важен. Если при выборе запрещены повторения, то число возможных сочетаний вычисляется по формуле
Заметим, что
Калькулятор для вычисления числа сочетаний из n элементов по k:
Пример 1.5. Сколькими различных правильных дробей можно составить из чисел 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, берущихся попарно?
Решение. Различных пар из данных чисел, в которых первый элемент меньше второго, будет, очевидно, столько, сколько можно составить сочетаний из 7 по 2:
Задачи.
1.250. Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов из состава конференции, на которой присутствуют 15 человек?
1.260. У одного есть 11 книг по математике, а другого – 15 книг. Сколькими способами они могут выбрать по 3 книги для обмена?
1.270. Сколько прямых провести через 8 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?
1.280. Найти число диагоналей n-угольника.
1.290. Сколькими способами можно 5 одинаковых предметов распределить между тремя лицами?
1.300. Компания из 15 человек разделяется на две группы, одна из которых состоит из 6 человек, а другая – из 9 человек. Сколькими способами это можно сделать?
1.310. В пространстве даны 7 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти точки?
1.32. В урне 6 белых и 8 черных шаров. Из нее одновременно вынимают три шара одного цвета. Сколькими способами это можно сделать?
1.33. В лаборатории работают 8 физиков и 10 химиков. Надо создать рабочие группы по трем темам. В первую группу должны войти 4 физика, во вторую – 5 химиков, а третья должна состоять из 3 человек, которые могут быть как физиками, так и химиками. Сколькими способами можно создать такие группы?