Квантиль - что это?

Определение 1. Кванти́ль в математической статистике – число  x_p такое, что заданная случайная величина  X  превышает его лишь с фиксированной вероятностью p.

Классное определение, но годится такое определение разве что для википедии, оно не конструктивно, т.е не пригодно для практических целей. Немного терпения, и вам станет понятно данное определение. Более того, вы с легкостью сможете находить квантили любого уровня, а также сможете применять данное понятие для решения задач по статистике.

Попытка №2 - конструктивное определение квантиля:

Определение 1*. Квантилью x_p (p-квантилью, квантилью уровня p) случайной величины X, имеющей функцию распределения F (x), называют решение x_p уравнения F (x) = p.

 Следовательно, для того чтобы найти квантиль x_p необходимо найти решение уравнения F (x) = p.

Для наглядности, найдем решение графически:

1. Построим функцию распределения F(x);

2. Построим горизонтальную линию уровня p;

3. Находим точку пересечения данных линий, опускаем перпендикуляр на ось X, получаем  квантиль x_p (квантиль уровня p) смотри рисунок 1.

 Аналогично для дискретной случайной величины X смотри рисунок 2.

Замечание.  Для дискретной случайной величины X функция распределения F(x) имеет ступенчатый вид, функция не монотонна. Поэтому решение уравнения F(x) = p в общем случае не однозначно ( в решение попадают интервалы). В таких случаях, для определенности квантилем назначают средину интервала, как показано на рис.2.

 

Квантили удобны для сравнения различных законов распределения вероятностей. В некоторых случаях пользуются децилями: x_0,1 , x_0,2 , x_0,3 , …, x_0,9 . Однако наибольшее распространение получили квартили. Квартилями называют квантили порядков 0,25, 0,5 и 0,75. Будем их обозначать соответственно как k₁ , k₂ , k₃ . Квартили k₁ и k₃ называют обычно нижней и верхней квартилями. Вторая квартиль k₂ совпадает с  медианой распределения.

Определение 2. Децилями называют квантили уровня 0,1, 0,2, 0,3, ...0,9, обозначают соответственно d₁, d₂, d₃,...d₉.

Определение 3. Квартилями называют квантили порядков 0,25, 0,5 и 0,75, обозначают соответственно k₁ , k₂ , k₃ .

Определение 4. Медианой называют квантиль уровня 0,5,

обозначают Me = x_0,5.

Ну вот, пришло время, на конкретном примере показать, как находить квантили.

Пример. Пусть имеется выборка дискретной случайной величины X:

3	0	1	5	1	2	4	5	3	4
2	4	2	0	2	3	1	3	2	1
4	3	0	2	1	0	4	2	3	2

Найти квантили уровня 0,2 и 0,3  ( x_0,2 и x_0,3 )

Решение.

1) Находим функцию распределения дискретной случайной величины:

Вариант	Частота	Частность	F(X)
0	4	0,133333	0,133333
1	5	0,166667	0,3
2	8	0,266667	0,566667
3	6	0,2	0,766667
4	5	0,166667	0,933333
5	2	0,066667	1

2) Строим график функции распределения, проводим линии уровня p = 0,2 и p = 0,3,

3) получаем квантили: x_0,2 = 1, x_0,3 = 1,5, или, можно сказать так,  получаем децили d₂=1, d₃=1,5