По теме
Определение. Композицией (суперпозицией) двух отношений ρ и σ называется отношение
σ∘ρ = {<x, z> |существует такое y, что <x, y> | ρ и < y, z> |σ}.
Пример 1.
ρ = {<x, y> |y = sinx}.
σ = {<x, y> |y = √x}.
σ∘ρ = {<x, z> |существует такое y, что <x, y> | ρ и < y, z> |σ} = {<x, z> |существует такое y, что y = sinx и z = √y} = {<x, z> | z = √sinx}.
Определение композиции двух отношений соответствует определению сложной функции:
y = f(x), z = g(y) ⟹ z = g(f(x)).
Пример 2.
ρ = {<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <3, 1>}.
σ = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <3, 2>, <3, 3>}.
Процесс нахождения σ∘ρ в соответствии с определением композиции удобно изобразить таблицей, в которой реализуется перебор всех возможных значений x, y, z. для каждой пары <x, y> | ρ нужно рассмотреть все возможные пары < y, z> |σ (табл. 1).
Таблица 1
|
<x, y> | ρ |
< y, z> |σ |
<x, z> |σ∘ρ |
|
<1, 1> <1, 1> <1, 2> <1, 3> <1, 3> <3, 1> <3, 1> |
<1, 2> <1, 3> <2, 2> <3, 2> <3, 3> <1, 2> <1, 3> |
<1, 2> <1, 3> <1, 2> <1, 2> <1, 3> <3, 2> <3, 3> |
Заметим, что первая, третья и четвертая, а также вторая и пятая строки последнего столбца таблицы содержат одинаковые пары. Поэтому получим:
σ∘ρ = {<1, 2>, <1, 3>, <3, 2>, <3, 3>}.