Материал и инструкция
Как пользоваться
Пример. Исследовать функцию
построить график.
Решение.
1)Найти область определения.
Функция определена при всех 
, кроме x=2.
2)Проверить, является ли функция четной, нечетной, периодической.
Функция является ни четной, ни нечетной,непериодической.
3)Найти точки пересечения графика с осями координат, промежутки, где значения функции положительны, отрицательны.
График ее пересекает оси координат в одной точке (0;0). Функция положительна при
и отрицательна при х<0.
4)Найти точки разрыва функции.
Функция разрывна в точке х=2. Имеет разрыв второго рода: правый и левый пределы в точке х=2 стремятся к бесконечности.
5)Найти асимптоты графика.
Поскольку
,
прямая х=2 - вертикальная асимптота графика.
Из того, что
.
следует, что при 
график имеет наклонную асимптоту
6) Вычислить первую производную, найти экстремумы и промежутки ее возрастания и убывания. Вычисляем первую производную
,
решаем уравнение
и находим единственную точку экстремума х=6, которая является точкой минимума, y(6)=27/8.
На интервалах
функция возрастает, на интервале 
убывает.
7) Вычислить вторую производную функции,найти точки перегиба графика, промежутки выпуклости вверх или вниз.
Вычисляем вторую производную
Отсюда следует, что имеется только одна точка перегиба функции х=0. При x<0 функция выпукла вверх,при 0<x<2 и при х>2 функция выпукла вниз.
8) На основе проведенного исследования строим график функции.
Онлайн сервис решения задач
2)Проверить, является ли функция четной, нечетной, периодической.
Функция является ни четной, ни нечетной,непериодической.
3)Найти точки пересечения графика с осями координат, промежутки, где значения функции положительны, отрицательны.
График ее пересекает оси координат в одной точке (0;0). Функция положительна при
4)Найти точки разрыва функции.
Функция разрывна в точке х=2. Имеет разрыв второго рода: правый и левый пределы в точке х=2 стремятся к бесконечности.
5)Найти асимптоты графика.
Поскольку
Из того, что
и находим единственную точку экстремума х=6, которая является точкой минимума, y(6)=27/8.
На интервалах
7) Вычислить вторую производную функции,найти точки перегиба графика, промежутки выпуклости вверх или вниз.
Вычисляем вторую производную
Отсюда следует, что имеется только одна точка перегиба функции х=0. При x<0 функция выпукла вверх,при 0<x<2 и при х>2 функция выпукла вниз.
8) На основе проведенного исследования строим график функции.
Онлайн сервис решения задач