Геометрическая вероятность

3. Геометрическая вероятность

Пусть некоторая n-мерная фигура (отрезок, плоская фигура, пространственная фигура) составляет часть другой n-мерной фигуры. Если предположить, что вероятность попадания точки на эту фигуру пропорциональна её мере (длине, площади, объёму) и не зависит от взаимного расположения меньшей и большей фигур, то вероятность попадания точки на эту фигуру определяется равенствами
где l(L), s(S), v(V) - длина, площадь и объём меньшей и большей n-мерных фигур соответственно.

Задача 1. (Геометрическая вероятность)

На плоскости начерчены две окружности радиусами 2 и 7 см соответственно, одна внутри другой. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в малый круг. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от её расположения.

Решение задачи:
P = s/S = πr²/πR² = 2²/7² = 4/49 ≈ 0,082

Задача 2. ( геометрическая вероятность)

В круг радиуса R наудачу брошена точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется внутри данного вписанного правильного треугольника.

Решение задачи

Искомая вероятность равна отношению площади треугольника к площади круга:

Задача 3. Геометрическая вероятность

Из отрезка [0, 2] на удачу выбраны два числа х и у. Найдите вероятность того, что эти числа удовлетворяют неравенствам .

Решение задачи на геометрическую вероятность.

По условиям опыта координаты точки (х,у) удовлетворяют системе неравенств:

Это значит, что точка (х,у) наудачу выбирается из множества точек квадрата со стороной 2. Интересующее нас событие происходит в том и только в том случае, когда выбранная точка (х,у) окажется под прямой и над параболой. Эта область получена как множество точек, ординаты которых удовлетворяют неравенствам Следовательно, искомая вероятность равна отношению площади области к площади квадрата: