Доказать sin(arccosx)=√((1)-x^2) - 3 Апреля 2015 - Примеры решений задач

Главная » 2015 » Апрель » 3 » Доказать sin(arccosx)=√((1)-x^2)

13:36

Доказать sin(arccosx)=√((1)-x^2)

Пример. Доказать

$sin\left ( arccosx \right )=\sqrt{1-x^{2}}$

Доказательство.

♦ Вводим замену переменной:

$arccosx=y$

Тогда

$cosy=x, 0\leq y\leq \pi$

Известно, что

$sin^2y=1-cos^2y$

На отрезке [0,π] синус принимает только неотрицательные значения.

Поэтому

$siny=\sqrt{1-cos^2y}$ , или $siny=\sqrt{1-x^2}$ ,

получаем

$sin\left ( arccosx \right )=\sqrt{1-x^2}$

что и требовалось доказать♦